ALLT ÄR INTE MATEMATIK

ALLT ÄR INTE MATEMATIK!
Eller
PYTHAGORAS HADE FEL

Lördagen 2.9 tittade jag på ett program på Sveriges tv som heter Skavlan. Namnet är efter den norske programledaren. Han bjuder in kända personer och diskuterar med dem. Programmet är förvånande djuplodande och filosofiskt. En av deltagarna denna gång var en matematiker - jag har glömt hans namn - ett franskt matematiskt geni. (Skavlan kallade honom geni, men själv protesterade han, som sig bör, mot den beskrivningen). Att diskutera matematik i tv hör definitivt inte till vanligheterna. Därför satte detta inslag igång de sakta rostande små grå kugghjulen i min hjärnbark.

I brist på hans rätta namn kallar jag det franska mattegeniet Pierre. Han påstod något som för de flesta säkert lät obegripligt, nämligen att ”allting är matematik”. Världen är uppbyggd enligt matematiska lagar.

För mig som yrkesfilosof var denna tanke ingenting nytt. Den är i själva verket urgammal. Redan för 2500 år sedan påstod en halvt mytisk grekisk filosof vid namn Pythagoras samma sak. Han grundade en rörelse, en skola, en filosofisk lära som samtidigt var en religion. Hans efterföljare verkade i flera hundra år, främst i södra Italien, som då behärskades av grekerna. De kom att sätta outplånliga spår i vår västerländska kultur. Än i dag känner alla bildade människor till namnet Pythagoras. Men i allmänhet vet de föga mer om honom än att han var matematiker och bevisade Pythagoras teorem.

En annan orsak till att jag skriver denna blogg om matematikens roll är att lektor Olli Lagerspetz vid Åbo Akademi i ett mejl till mig nyligen i korthet berörde svårigheten att förstå Pythagoras tes att ”allt är tal”. Han håller en kurs i filosofins historia där han bl.a. berättar om Pythagoras och hans skola. Själv har jag hållit motsvarande kurs åtskilliga gånger under 1970- och 1980-talet. Också senare har jag i min forskning grävt litet djupare i den pytagoreiska läran.

ÄR GUD MATEMATIKER?
Under 1900-talet hävdade många framstående matematiker samma sak som Pythagoras och Pierre. Här nämner jag blott Einstein som bl.a. är känd för att ha påstått att Gud är matematiker. Därmed ville han ha sagt att världen är uppbyggd enligt matematiska principer, att den i grunden kan förstås endast av en matematiker. (Jag har skrivit om Einstein i bloggarna 29.2 -08, 28.9 -08 och 15.1 -10).

Jag är själv ingen matematiker. Kanske är det orsaken till att jag alltid ställt mig skeptisk till Pythagoras och alla hans efterföljare. (Platon var för övrigt en av hans efterföljare. Enligt honom var matematiken den högsta och ädlaste vetenskapen. Aristoteles höll inte med på denna punkt. Själv ställer jag mig på Aristoteles sida mot Platon och Pythagoras och mot Einstein och Pierre och en massa andra.)

Hur skall man förstå Pythagoras påstående att ”allt är tal”, att talen är arke, dvs alltings ursprung och grundsubstans? Hur skall man förstå Einsteins påstående om Gud som matematiker och Pierres att allt är matematik? Det är ju uppenbart att de i en rent konkret mening pratar rena gojan. Min kaffekopp består minsann inte av tal eller ekvationer, inte heller vätskan i koppen. Inte heller består äpplena, som i år blir ett problem för att de är så många, av abstrakta matematiska strukturer. I själva verket består ju ingenting av allt det som finns runt mig, och runt dig också bästa läsare, av tal eller matematik. Så varför detta nonsens om att allt i grund och botten är matte?

ETT FUNDAMENTALT TANKEFEL
Jag har djärvheten att påstå att många matematiker, börjande med Pythagoras, gjort sig skyldiga till ett fundamentalt tankefel. De har blivit förförda av matematikens gudinna. De har gjort henne till älskarinna när hon egentligen bara borde vara tjänarinna.

Nu tror läsaren antagligen att jag försöker visa att det finns mycket som inte kan beskrivas i matematiska termer, som inte kan behandlas inom ramarna för något matematiskt system. I och för sig är detta (självklart) sant. Men så enkelt tänker jag inte avfärda Pyuthagoras och hans gäng. I själva verket tror jag att det mesta i världen (och utanför världen) faktiskt kan beskrivas i matematiska termer. I en mycket trivial mening har Pierre rätt. Men i en djupare mening har han fel.

Det som fört mig in på vad jag anser vara rätt spår är tillämpningen av matematik i den moderna fysiken. Jag försöker uttrycka mig mycket kort.

Låt oss börja med frågan vad matematik är. Pierre betonade att han är dålig på räkning ”computing”. Einstein lär också ha varit rätt dålig på att räkna, dvs på aritmetik. Det första man måste inse är att matematik i den mening vi här talar om inte handlar om att addera, subtraheter, dividera eller ens att dra rötter. Den handlar om att i sin tanke hantera abstrakta strukturer enligt exakt definierade regler.

VAD ÄR EN MATEMATISK STRUKTUR?
Vad är en abstrakt matematisk struktur? Ett exempel som vi alla lätt kan hantera är ett s.k. euklidiskt rum. Tänk t.ex. på ett vanligt rum med möbler, golv, tak och väggar. Tänk sedan bort alla möbler. Tänk på golv och tak och väggar som ytor utan några egenskaper. Vad du då har är ett avgränsat euklidiskt rum. I detta rum kan du nu tänka dig en mängd abstrakta begrepp. En rät linje t.ex. Tänk dig en rät linje från en vägg till en annan. Linjen skär väggarna i skärningspunkter. Den bildar vinklar med väggarna etc. Du kan vidare tänka dig att böja linjen på en oändlig mängd sätt. Du får cirklar, ovaler, romber, kuber etc. Om man undersöker hur linjer, vinklar, cirklar, areor etc förhåller sig till varandra upptäcker man en mängd samband eller geometriska lagar. Det var just detta som de grekiska matematikerna gjorde och som så fascinerade Pythagoras, Platon, Arkimedes och senare hela arméer av matematiker. I hundratals år har skolbarn pinats med att lära sig åtminstone en del av denna imponerande grekiska geometri. Själv tvingades jag traggla igenom två böcker i geometri i gymnasiet.

Nu går vi ett steg vidare. Vi tänker oss en punkt i rummet. I verkligheten kan det vara en fluga som flyger från fönster till fönster, ett dammkorn som singlar ner mot golvet, en kopp som ramlar i golvet. Matematiskt kan dessa representeras av en abstrakt punkt. När punkten rör sig får vi en rörelsebana. Denna kan exakt beskrivas av en linje. Varje rörelse är sålunda matematisk i den (triviala) meningen att den sker enligt någon linje i något rum. Också jordens rörelse i universum behandlades på 1600-talet på detta sätt. Hela jordens massa tänktes för enkelhetens skull vara samlad i en punkt.
Nu gör vi det litet mer komplicerat. Vi lägger in ett koordinatsystem i det euklidiska rummet. (Det var Descartes som i början av 1600-talet kom på denna epokgörande idé). Rummet har tre dimensioner längd, bredd och höjd. För varje punkt i rummet gäller nu att den exakt kan beskrivas genom tre tal, x,y,z. Punktens rörelse kan i sin tur beskrivas genom förändringen i dess kordinater, dvs genom de ändrade värdena för x,y,z. Flugans flykt från ett fönster till ett annat kan då i princip beskrivas på ett exakt matematiskt sätt.

Descartes upptäckte också att varje linje motsvaras av en ekvation. För en rät linje är ekvationen mycket enkel, liksom också för t.ex. en cirkel. (Den som vill ha mer konkret info kan slå upp kapitlet analytisk geometri i en lärobok i matte).

Hur blir det då med flugans bana? Kan den beskrivas genom en ekvation? Eftersom varje linje motsvaras av en ekvation så blir svaret i princip ja. Men eftersom flugans bana är ytterst oregelbunden blir det i praktiken omöjligt att finna den ekvationen. I princip kan banan beskrivas matematiskt, men inte i praktiken.

Sedan urminnes tider har människan insett att många processer i världen är regelbundna, invarianta, lagbundna. På 1600-talet började man tala om naturlagar. Det låg då nära till hands att försöka uttrycka enkla naturlagar matematiskt. Man kan säga att Galileo Galilei grundade den moderna fysiken genom sin bok om två nya vetenskaper. I den boken vimlar det av matematiska bevis. Han använder dock fortfarande främst geometrin. Galileos efterföljare jobbade hårt för att försöka beskriva rörelse, och uttryckligen då kroppars rörelse, med hjälp av den nya matematik som Descartes skapat. Följande steg var att en ny matematik, integralkalkylen skapades.

Att jorden rör sig regelbundet i en bana runt solen visste man. Men kunde denna rörelse beskrivas matematiskt? Matematiken är absrakt och ytterst förenklad. Tänk på det vardagliga rummet som i tanken görs till ett abstrakt idealiserat euklidiskt och därmed matematiskt rum. Jorden är enormt stor, rymden obegränsad, hastigheten väldig. Hur kan något sådant hanteras matematiskt? Jo vi tänker oss jorden som en punkt som rör sig i ett euklidiskt, tredimensionellt rum. Vi gör en enkel skalmodell för att få en åskådlig bild. Utgående från dessa antaganden och stora mängder mätvärden lyckades Newton arbeta sig fram till en matematisk formulering av den s.k. gravitationslagen. När denna kombinerades med några andra antaganden blev det möjligt att beräkna inte bara jordens, utan alla himlakroppars rörelse.

Detta är väl ett bevis för Pythagoras tes? Visar detta inte att universum skapats av en matematiker?
Märkväl att det som Newton upptäckte eller antog inte var matematiska lagar. Det var fysikaliska lagar. Det är inte matematiken som förklarar kropparnas rörelser utan fysiken. Men den stora triumfen var att de fysikaliska invarianserna kunde uttryckas i matematikens språk. Matematiken är ett viktigt hjälpmedel för fysiken. Den är nödvändig för exakta beräkningar, men den förklarar i sig ingenting.

DET FYRDIMENSIONELLA RUMMET
Ända fram till början av 1900-talet trodde fysikerna att den tredimensionella, euklidiska geometrin inte bara är en matematisk beskrivning av det verkliga fysikaliska rummet, utan den enda möjliga, rätta och sanna beskrivningen. Den stämmer förstås överens med vår intuitiva förståelse av rummet. Fram till den tiden kunde man fortfarande försvara Pythagoras idé att matematiken ger oss grunden till en förståelse av världen
Sen kom Einstein och den speciella relativitetseorin (SR) år 1905.
Han var ingen framstående matematiker, men han hade en djärv, konkret fysikalisk fantasi. Han antog helt emot den klassiska fysiken att ljusets hastighet är konstant för alla observatörer. Men det betydde att något måste radikalt ändras i den klassiska teorin om kroppars rörelser.För att beskriva rörelse i den nya teorin krävdes en annan matematik. Den fann han i en fyrdimensionell euklidisk geometri. Den gjorde det möjligt att lägga till tid som en dimension av samma slag som längd, höjd och bredd.
Det räcker, enligt Einstein, inte med tre koordinater för att matematiskt beskriva flugans läge. Vi behöver också en tidskoordinat. Flugan befinner sig i ett fyrdimensionellt rum. Dess läge bestäms av fyra koordinater x,y,z,t. I övrigt gäller samma matematiska principer som tidigare men ekvationerna blir mer invecklade eftersom de innehåller fyra värden i stället för tre. (I praktiken behöver vi självklart inte en fyrdimensionell geometri för att beskriva vardagliga, långsamma processer. Men om vi har en superfluga, som svischar fram med en hastighet nära ljusets så duger den gamla matematiken inte längre. Vi kan t.ex. inte addera hastigheter som tidigare. 2 plus 2 är inte längre fyra när det gäller hastigheter. Vi måste använda den s.k. Lorenz-transformationen.)

Det var alltså inte matematiska resonemang som ledde till SR utan fysikaliska experiment och resonemang. Men för att uttrycka de nya idéerna behövdes en ny geometri. Denna var dock bara en utvidgning av den klassiska tredimensionella matematiken.

Man kan då undra om denna matematiska beskrivning är den enda rätta och sanna? Eller finns det eventuellt ännu fler dimensioner? Faktum är att fysikerna spekulerat mycket kring detta. I modern fysik har man lekt med tanken på upp till elva dimensioner.

Vilka slutsatser kan vi dra av detta? Matematiken kan inte i sig själv vare sig förklara eller beskriva vad som är sanningen om rum, tid och materia i vår värld. Matematiskt sett är oändligt många världar möjliga. Endast genom empirisk forskning kan vi avgöra vilken av de matematiskt möjliga världarna som faktiskt är den verkliga världen.

Låt oss ännu dröja litet vid Einsteins största insats, den allmänna relativitetseorin (AR). Det fanns en fatal brist i SR. Den var i själva verket uppenbart felaktig. Den handlar enbart om likformig rörelse. Men i verkligheten är nästan all rörelse olikformig, antingen ökar eller minskar den. I AR bortser Einstein helt från gravitationen som ju är en universell kraft. En allmän teori måste förklara all rörelse. Det tog tio år för Einstein att arbeta sig fram till den allmänna teorin.
Ett stort problem var att hitta en matematisk formulering av teorin. Man måste kunna beräkna rörelserna och till detta behövdes något slag av matematik. Den fyrdimensionella euklidiska geometrin gav inte alls rätt resultat. Den dög inte längre. Ja, själva fundamentet i Euklides matematik, dvs parallellaxiomet, verkade vara fel. Einstein var tvungen att söka en helt annan typ av matematik för att kunna formulera sin tankar i matematisk gestalt. Det fanns redan gott om nya matematiska system att välja bland.

Redan i mitten av 1800-talet hade några matematiker genom ren grundforskning upptäckt att man kan konstruera geometrier (alltså matematiker) som strider mot Euklides. Ett grundantagande i Euklidisk matematik är att parallellaxiomet gäller. Nu upptäckte man att det går att konstruera i sig motsägelsefria geometrier (matematiska rumsbeskrivningar) i vilka detta axiom är falskt. I dessa beskrivningar är rummet som man säger krökt på ett eller annat sätt.

Det var just en sådan geometri Einstein behövde. Han hade genom sin fysikaliska intuition kommit fram till att det fyrdimensionella rum i vilket vi rör oss i själva verket är mer eller mindre krökt. Krökningen är i själva verket det vi kallar gravitation, och den orsakas av kroppars massa. Han behövde nu ekvationer med vars hjälp man kunde beräkna denna krökning för varje punkt i rummet. En formidabel uppgift. Till detta krävdes en ytterst invecklad matematik, den s.k tensorkalkylen.

Att beskriva flugans bana med denna matematik är ytterst komplicerat. Förutom att vi behöver koordinaterna för längd, bredd, höjd och tid behöver vi värden för hur rummet är krökt just där flugan flyger.

Det fysikaliska rummet beskrivs sålunda i AR genom en icke-euklidisk, fyrdimensionell geometri.

Är då detta den slutgiltiga sanningen? Är det just denna matematik som beskriver det sanna, verkliga rummet?
Troligen inte.
Det rum som beskrivs i denna matematik är kontinuerligt. Det betyder att det inte finns någon minsta sträcka. Detta gäller för övrigt redan i Euklides ursprungliga matematik. Varje sträcka kan i princip delas i mindre sträckor.
Men enligt kvantmekaniken, den andra stora teorin i dagens fysik, finns det alltid en minsta enhet. Oändlig delbarhet leder till absurda konsekvenser. Därför existerar allting i ett slags minsta enheter, kvanta. För att AR fullständigt skall kunna passa ihop med kvantfysiken krävs att själva rummet på något sätt är kvantiserat, dvs att rummet är diskret, inte kontinuerligt. Men ingen har hittills, trots ihärdigt arbete under många år, lyckats finna någon matematik som skulle förena fysikens två grundläggande teorier i ett enda enhetligt system.
Kanske behövs det en ny matematik, som ännu inte är uppfunnen, för detta.

SLUTSATSER
Av min korta utredning ovan kan man dra flera generella slutsatser om matematikens natur och om förhållandet mellan matematik och verklighet.

1) Det finns inte en enda matematik utan en stor mängd olika matematiker. För praktiska ändamål använder vi oftast aritmetik, men för mer komplicerade ändamål är vi ofta tvugna att söka matematiska system som intuitivt verkar konstiga. Det finns m.a.o. ett helt smörgåsbord av olika abstrakta tankesystem som går under benämningen matematik. En del av dessa motsäger varandra. Euklidisk geometri är t.ex. logiskt oförenlig med icke-euklidisk. Båda kan inte vara sanna. Det finns flera icke-euklidiska geometrier. Dessa i sin tur är oförenliga med varandra.
2) Ett matematiskt system är i princip av samma typ som ett språk. Det finns tusentals språk som beskriver världen på olika sätt. Man kan välja bland dessa för något visst ändamål. Ofta kan de förstås mer eller mindre exakt översättas till varandra. Något liknande gäller för många matematiska system. Det finns inget språk som är det enda rätta och sanna. Lika litet finns det någon sådan matematik. Man kan inte förklara världen genom lingvistik. Lika litet kan man göra det genom matematik. I båda fallen är det frågan om nödvändiga hjälpmedel i sökandet efter sanningen om världen. Men sanningen om världen finner vi genom att studera världen, inte genom att studera våra hjälpmedel.
3) Det finns system som är mellanformer mellan matematik och språk. Dessa kallas vanligen formell logik. Sådana system började konstrueras under senare delen av 1800-talet och i dag finns det en stor mängd olika formella logiker. Också här har forskarna skapat ett smörgåsbord av absrakta system som man kan välja mellan för någon speciell uppgift.
4) Bakom språken, matematiken och den formella logiken finns alltid en underliggande, intuitiv logik. Utan en sådan blir rationella resonemang omöjliga.
5) Rent matematiska undersökningar kan inte lära oss något om världens beskaffenhet, om vad som finns och hur det fungerar. DÄRFÖR HAR PYTHAGORAS OCH ALLA HANS SENARE EFTERFÖLJARE FEL.